Toán học

Ma trận chuyển cơ sở – toạ độ – số chiều của không gian vectơ

Gửi tới bạn đọc kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập về ma trận chuyển cơ sở số chiều của không gian vectơ trong môn toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích giúp các bạn ôn tập dễ dàng

1. Cơ sở của không gian vecto

Định nghĩa: Một hệ sinh độc lập tuyến tính của một không gian vectơ khác vectơ 0 được gọi là cơ sở của nó.

Chú ý: Không gian vectơ 0 không có cơ sở hay số vectơ trong cơ sở của không gian vectơ không bằng 0.

S={e1 + e2 ,…,en } là cơ sở của không gian V nếu:

    • S độc lập tuyến tính
    • ∀ phần tử x đều được biểu diễn qua S: x= k1e1+k2e2+…+knen

1.1 Cơ sở chính tắc

  • R3={a,b,c}
    • (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
    • S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
    • dim Rn=n
    • có 3 vecto
  • P2={a+bx+cx2}
    • S={1,x,x2}
    • dim Pn=n+1
    • có 3 vecto

Xem thêm:

1.2 Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V không

S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:

  • S độc lập tuyến tính
  • dim V= số phần tử S

a. S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}⊂R4

S có 3 phần tử mà dim R4 =4 => S không phải là cơ sở

b. S={(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}⊂R3

số phần tử =dim R3 =3

Xét định thức:

> phụ thuộc tuyến tính

=> S không là sơ sở

c.S={1+x,2-x+3×2,3x-x2}⊂P2

Số phần tử=dim P2 =3

Xét định thức:

=> độc lập tuyến tính

=> S là cơ sở

2. Số chiều của không gian vectơ

Định nghĩa: Số vectơ trong một cơ sở K không gian vectơ V được gọi là số chiều của V. Kí hiệu dimKV. Nếu không cần chỉ rõ trường K cụ thể, ta có thể viết đơn giản dimV.

2.1 Tìm dim của ma trận

Số chiều không gian V=dim V=n= số phần tử

3. Toạ độ của một vectơ

Lưu ý:

Cùng chủ đề: Ánh xạ tuyến tính – Bài tập & lời giải

4. Ma trận chuyển cơ sở S→T

Ma trận chuyển S→T là ma trận toạ độ của T theo S

4.1 Ví dụ tìm ma trận chuyển cơ sở

Ví dụ: Trong không gian R3 cho 2 hệ cơ sở

S={ u1(1,1,1), u2(1,0,2), u3(1,2,1)}

T={ v1(2,3,2), v2(-1,1,4), v3(2,1,3)}

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang T

Giải

Xét ma trận sau:

Giải hệ phương trình

ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1

Tương tự xét ma trận

Vậy ma trận cần tìm là

Bài tập tìm cơ sở và số chiều không gian vecto

1.Giải thích tại sao tập sau có phải là cơ sở vecto của không gian tương ứng không

a. u1(1,2), u2(3,4), u3(5,6) đối với R2

-Không vì cơ sở R2 có 2 vecto

b. u1(1,2,3), u2(3,4,5), u3(4,5,6) đối với R3

-Có vì cơ sở R3 có 3 vecto

c. u1(2,1), u2(3,0) đối với R2

Số phần tử dim R2 =2

Xét ma trận bổ sung

det=-3≠0 => độc lập tuyến tính => là sơ sở

2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ u sang v

Bài toán: Xét không gian R3 với 2 cơ sở:

u1(1,0,0); u2(0,1,0); u3(0,0,1) và v1(1,1,0); v2(0,1,1); v3(1,0,1)

a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v)

b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (v) sang cơ sở (u)

Hướng dẫn giải

Ok xong, trên đây là một số kiến thức cơ bản cùng hướng dẫn cách giải các bài toàn về tìm số chiều, cơ sở, toạ độ của vecto. Nếu có bất kì thắc mắc nào thì đừng ngần ngại liên hệ với mình nhé. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu cơ sở không gian vecto trên ttnguyen.net

Tải file tài liệu Cơ sở không gian vecto giáo trình, lý thuyết, bài tập PDF

Cảm ơn bạn đã đọc hết bài viết chia sẻ tâm huyết của pgdchiemhoa.edu.vn Xin cảm ơn!

Lộc Phạm

Lộc Phậm là biên tập nội dung tại website pgdchiemhoa.edu.vn. Anh tốt nghiệp đại học Bách Khóa với tấm bằng giỏi trên tay. Hiện tại theo đuổi đam mê chia sẻ kiến thức đa ngành để tạo thêm nhiều giá trị cho mọi người.
Back to top button