Toán học

Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lí 1

Hàm số y = xn có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (xn)’ = n.xn-1.

2. Định lí 2

Hàm số y=x có đạo hàm tại mọi x dương và x’=12x.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x3;

b) Tính đạo hàm y=x tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3×2;

b) Ta có: y’=12x

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: y’5=125.

II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

uv’=u’v−u.v’v2v=v(x)≠0.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. 1v’=−v’v2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x5 – 2×2 + 3x + 6;

b) y = (x2 + 1)(2x – 3);

c) y=7x2x−1.

Lời giải

a) y = x5 – 2×2 + 3x

⇒y’ = (x5 – 2×2 + 3x)’

= (x5)’ – (2×2)’ + (3x)’

= 5×4 – 4x + 3.

b) y = (x2 + x).2x

⇒y’ = (x2 + x)’.2x + (x2 + 1)(2x)’

= [(x2)’ + x’].2x + (x2 + 1).2

= (2x + 1).2x + 2×2 + 2

= 4×2 + 2x + 2×2 + 2

= 6×2 + 2x + 2.

c)

y=7x2x−1⇒y=7×2’x3−2x−7x2x3−2x’x3−2×2=14xx3−2x−7x22x2−2×3−2×2=14×4−28×2−14×2+14xx3−2×2=−28×2+14xx3−2×2

III. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: yx’=yu’.ux’.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y=x2+2x

Lời giải

Đặt u=x2+2x thì y=u

y’=u’2u=x2+2x’2×2+2x=2x+22×2+2x.

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. y=x3−3×2+2x+1

2. y=−x3+3x+1

3. y=x44−x2+1

4. y=−2×4+32×2+1

5. y=2x+1x−3

6. y=x2−2x+2x+1

Lời giải

1. Ta có: y’=−x3+3x+1’=3×2−6x+2

2. Ta có: y’=−x3+3x+1’=−3×2+3

3. Ta có: y’=x44−x2+1’=x3−2x

4. Ta có: y’=−2×4+32×2+1’=−8×3+3x

5. Ta có:

y’=(2x+1)'(x−3)−(x−3)'(2x+1)(x−3)2=−7(x−3)2

6. Ta có:

y’=(x2−2x+2)'(x+1)−(x2−2x+2)(x+1)'(x+1)2=(2x−2)(x+1)−(x2−2x+2)(x+1)2=x2+2x−4x+12

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=x7+x2 

b) y=2×2+3x+1

Lời giải

a) Đặt u = (x7 + x)2

⇒y’u=2×7+xx7+x’=2×7+x7x+1

b) Đặt u = 2×2 + 3x + 1

⇒y’u=u’2u=2×2+3x+1’22×2+3x+1=4x+322×2+3x+1

Bài 3. Cho f(x)=2×3−x2+32 và g(x)=x33+x22+103. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

Lời giải

Ta có:

f'(x)=2×3−x2+32’=6×2−2xg'(x)=x33+x22+103’=x2+x

Xét bất phương trình: f’(x) > g’(x)

⇔6×2−2x>x2+x⇔5×2−3x>0⇔x<0x>35

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: −∞;0∪35;+∞.

Bài 4. Cho f(x) = x5 + x3 – 2x – 3. Chứng minh rằng:

f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Lời giải

Ta có: f’(x) = (x5 + x3 – 2x – 3)’ = 5×4 + 3×2 – 2.

Khi đó:

f’(1) = 5.14 + 3.12 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f’(-1) = 5.(-1)4 + 3.(-1)2 – 2 = 5 + 3 – 2 = 6.

f(0) = 05 + 03 – 2.0 – 3 = 0 + 0 – 0 – 3 = – 3.

f’(1) + f’(-1) = 6 + 6 = 12 và -4f(0) = -4.(-3) = 12.

Vậy f’(1) + f’(-1) = -4f(0).

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Câu 1: Cho hàm số y=x2+xx−2 đạo hàm của hàm số tại x=1 là:

A. y’1=−4

B. y’1=−5

C. y’1=−3

D. y’1=−2

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:

y=x4−3×2+2x−1

A. y’=4×3−6x+3

B. y’=4×4−6x+2

C. y’=4×3−3x+2

D. y’=4×3−6x+2

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y=1−2×2.

A. y’=121−2×2.

B. y’=−4×1−2×2.

C. y’=−2×1−2×2.

D. y’=2×1−2×2.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số fx=−x4+4×3−3×2+2x+1 tại điểm x=−1.

A. f’−1=4.

B. f’−1=14.

C. f’−1=15.

D. f’−1=24.

Câu 5: Cho hàm số fx xác định trên R bởi f(x)=x2. Giá trị f'(0) bằng

A. 0.

B. 2

C. 1

D. Không tồn tại

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số sau fx=x2−3x+1 khi x>12x+2 khi x≤1 ta được:

A. f'(x)=2x−3 khi x>12 khi x≤1

B. f'(x)=2x−3 khi x>12 khi x<1

C. Không tồn tại đạo hàm

D. f’x=2x−3

Câu 7. Đạo hàm của hàm số y=(x3−2×2)2016 là:

A. y’=2016(x3−2×2)2015.

B. y’=2016(x3−2×2)2015(3×2−4x).

C. y’=2016(x3−2×2)(3×2−4x).

D. y’=2016(x3−2×2)(3×2−2x).

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số sau: y=1+2×2+3×23−4×3

Trắc nghiệm Quy tắc tính đạo hàm có đáp án - Toán lớp 11 (ảnh 1)

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y=(x+1)x2+x+1.

A. 4×2−5x+32×2+x+1

B. 4×2+5x−32×2+x+1

C. 4×2+5x+3×2+x+1

D. 4×2+5x+32×2+x+1

Câu 10: Đạo hàm cấp một của hàm số y=1−x35 là:

A. y’=51−x34

B. y’=−15×21−x34

C. y’=−31−x34

D. y’=−5×21−x34

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm của hàm số lượng giác

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

Lý thuyết Ôn tập chương 5

Cảm ơn bạn đã đọc hết bài viết chia sẻ tâm huyết của pgdchiemhoa.edu.vn Xin cảm ơn!

Lộc Phạm

Lộc Phậm là biên tập nội dung tại website pgdchiemhoa.edu.vn. Anh tốt nghiệp đại học Bách Khóa với tấm bằng giỏi trên tay. Hiện tại theo đuổi đam mê chia sẻ kiến thức đa ngành để tạo thêm nhiều giá trị cho mọi người.
Back to top button